Derivada de una funcion constante

Aunque dada la ecuación de una función es posible obtener su respectiva función derivada utilizando la definición, para algunas funciones este procedimiento resulta sumamente tedioso. Surge entonces la necesidad de simplificar este proceso, lo cual puede lograrse al estudiar los teoremas sobre derivadas.

La derivada de una función constante es cero.

Ejemplos:

Si entonces
Si $f(x)= 5\sqrt{2}$ entonces
Si $f(x)= \frac{4}{5+\sqrt{2}}$ entonces

Funcion de un producto de un cociente

Derivada de la función exponencial

La derivada de la función exponencial ea igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.

Dadas dos funciones f(x) y g(x) cualesquiera, el cociente de f(x) y g(x), denotado por

, es otra función definida por

y g no puede ser igual a 0 por que tendriamos una indeterminación.

Ejemplo: Dadas las funciones $f(x)=\pm \sqrt{x-1}$ y $g(x)=\frac{1}{x^2-4}$ , definidas en R, determinar $\frac{f}{g}(x)$ , e igualmente su dominio:

$\begin{displaymath}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac {\sqrt{x-1}}{\frac{1}{x^2-4}}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\frac{f(x)}{g(x)}=(\sqrt{x-1})(x^2-4)\end{displaymath}$

Luego:

$\begin{displaymath}f(x)=\sqrt{x-1}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}x-1\geq 0\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}x\geq 1\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}D_f=[1,+\infty)\end{displaymath}$

Y dominio de g(x):

$\begin{displaymath}g(x)=\frac{1}{x^2-4}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}x^2-4=0\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}x^2=4\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}x=\pm 2\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}D_g={x\in R\wedge x\neq \pm 2}\end{displaymath}$

Luego:

$\begin{displaymath}D(f/g)=[1,+\infty)-{-2,2}\end{displaymath}$

Funcion de una raiz

Se llama enésima raíz, o raíz de orden n su función matemática recíproca.
Se puede anotar de las formas:
$y = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}$ .
Para todo n natural, a y b reales positivos, tenemos la equivalencia:
$a = b^n \iff b = \sqrt[n]{a}$ .
En él, se han dibujado las curvas de algunas raíces, así como de sus funciones recíprocas, en el intervalo [0;1]. La diagonal de ecuación y = x es eje de simetría entre cada curva y la curva de su recíproca.

Cambiando de escala:

Lorena TIC 01

viernes, 7 de octubre de 2011

Derivada Primeros Teoremas

Derivada de la función exponencial