Lorena TIC 01: Derivacion En Cadena

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

Ejemplo:

Sea

$h\left(x\right) = \left(f \circ g\right)\left(x\right).$

Esto es entonces

$h\left(x\right) = f\left(g\left(x\right)\right).$

Aplicando la definición de derivada se tiene

$\frac {\text{d}h}{\text{d}x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x}.$

Donde queda

$= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))}{\Delta x}.$

Equivalentemente, multiplicando y dividiendo entre $g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)$

$= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))}{\Delta x} \cdot \frac{g(x+\Delta x)-g\left(x\right)}{g(x+\Delta x)-g\left(x\right)}.$

$= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g\left(x\right)} \cdot \frac{g(x+\Delta x)-g\left(x\right)}{\Delta x}.$

$= \frac{\text{d}f}{\text{d}g}\cdot\frac{\text{d}g}{\text{d}x}.$